ทวีศิลป์เป็นชาวนครราชสีมา บิดาชื่อ เว้งกวง แซ่โต๋ว มารดาชื่อ เพ็ญนภา มีพี่น้องทั้งหมด 5 คน โดยเป็นลูกคนที่ 2 ครอบครัวมีอาชีพค้าขาย เปิดร้านโชห่วยอยู่หน้าตลาดเทศบาล 2 จังหวัดนครราชสีมา บิดาประสบอุบัติเหตุจนต้องตัดขา ทุกคนในบ้านจึงช่วยทำงาน รวมถึงทวีศิลป์ที่ต้องช่วยเลี้ยงหมู พับถุงขาย กรอกน้ำกรด ทำขนมผิง ฯลฯ

เขาจบการศึกษาที่โรงเรียนอนุบาลนครราชสีมา ระดับมัธยมที่โรงเรียนบุญวัฒนา จบการศึกษาระดับมหาวิทยาลัยจากมหาวิทยาลัยขอนแก่น โดยเป็นการสอบโควตา[1] หลังจากเรียนจบแพทยศาสตรบัณฑิต จากมหาวิทยาลัยขอนแก่นเมื่อปี 2532 เริ่มทำงานที่โรงพยาบาลจิตเวช นครราชสีมา เป็นเวลา 2 ปี หลังจากนั้นก็ได้เข้าเรียนที่สถาบันจิตเวชศาสตร์สมเด็จเจ้าพระยา และได้เข้าทำงาน ณ ที่ดังกล่าว และทำหน้าที่สอนนักศึกษาแพทย์ไปด้วย จนปี 2537 ก็ตัดสินใจไปเรียนต่อเพิ่มเติมด้านจิตเวชที่ชิคาโก สหรัฐ ทางด้านประสาทจิตเวชศาสตร์[2] ช่วงที่อยู่ที่โรงพยาบาลสมเด็จเจ้าพระยา เริ่มทำหน้าที่ตอบคำถามเรื่องจิตเวชผ่านสื่อต่าง ๆ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งที่ผลักดันให้เขาเป็นที่รู้จักของคนทั่วไป จนราวปี พ.ศ. 2546–2547 มีข้าราชการกระทรวงสาธารณสุขอาวุโสให้ย้ายมาอยู่กับทางกระทรวงสาธารณสุข เริ่มจากการเป็นโฆษกกรมสุขภาพจิต แล้วขึ้นเป็นผู้อำนวยการสำนักสุขภาพจิตและสังคม พร้อมดำรงตำแหน่งโฆษกกระทรวงสาธารณสุข[3] จากนั้นวันที่ 26 มีนาคม พ.ศ. 2563 ได้รับการแต่งตั้งให้ดำรงตำแหน่งโฆษก ศบค.[4]

ด้านชีวิตส่วนตัว สมรสกับวิไลรัตน์ วิษณุโยธิน เป็นกุมารแพทย์ มีบุตรด้วยกัน 2 คน ชื่อ ธรรศและธนวินท์